V našem raziskovanju se ukvarjamo s kombinatoričnimi objekti, znanimi kot grafi. Graf sestavljata končna množica vozlišč, skupaj z množico povezav. Vsaka povezava povezuje dve različni vozlišči. Za vozlišči x, y rečemo, da sta sosednji, če sta povezani s povezavo. Koncept grafa je zelo uporaben, saj se mnoge tako matematične kot tudi druge relacije dajo modelirati s pomočjo grafov. V predlaganem projektu bomo raziskovali tako imenovane razdaljno-regularne grafe. Ogrodja petih platonskih teles so primeri takšnih grafov. Izkaže se, da je teorija razdaljno-regularnih grafov povezana tudi z mnogimi drugimi področji matematike, kot so na primer teorija kodiranja, teorija reprezentacij in teorija ortogonalnih polinomov.

Da bi opisali glavne cilje našega projekta se najprej spomnimo definicije razdaljno- regularnega grafa. Naj bo Γ = (X, R) graf z množico vozlišč X, množico povezav R, razdaljno funkcijo d in premerom D. Rečemo, da je Γ razdaljno-regularen, če za vsa cela števila h, i, j (0 ≤ h, i, j ≤ D) in vsa vozlišča x, y grafa Γ z d(x, y) = h velja, da je število vozlišč, ki so na razdalji i od vozlišča x in na razdalji j od vozlišča y, odvisno samo od števil i, j, h (in neodvisno od izbire vozlišč x, y).

Naš projekt je sestavljen iz dveh glavnih delov: študija Terwilliger-jevih algeber razdaljno-regularnih grafov (preko nerazcepnih modulov), ter študija delovanj grup avtomorfizmov razdaljno-regularnih grafov. Da bi opisali glavni cilj prvega dela našega projekta, se najprej spomnimo definicije Terwilligerjeve algebre razdaljno-regularnega grafa Γ. Naj bo Γ razdaljno-regularen graf premera D. Izberimo si vozlišče x grafa Γ. Za 0 ≤ i ≤ D definirajmo diagonalne matrike E_i^*=E_i^*(x), ki imajo vrstice in stolpce indeksirane z vozlišči grafa Γ. Za vozlišče y grafa Γ naj bo (y,y)-koordinata matrike E_i^* enaka 1, če je d(x,y)=i, in enaka 0 sicer. Matrike E_i^* imenujemo dualni idempotenti grafa Γ (glede na x). Terwilligerjeva algebra T=T(x) grafa Γ je matrična algebra, generirana z matriko sosednosti grafa Γ in z dualnimi idempotenti grafa Γ. V prvem delu našega projekta bo naš glavni cilj rešiti naslednji problem.